tldr: 它是行向量，在进行矩阵乘法时会自动扩展 / 转换为适当的维度。
我一直被 “numpy 数组是行向量还是列向量” 的问题困扰。我知道对于一维向量，它既不是行向量也不是列向量，正如其他人所指出的那样。但如果没有对这个问题的正确理解，每次我尝试想象在实现自己的代数时会发生什么，我都没有足够的信心，这种不自信真的很烦人，因为我总是担心自己可能写错了什么。
我将这个问题视为，当一个二维 numpy 数组（即矩阵）和一个一维 numpy 数组相乘时，这个二维 numpy 数组的哪个维度进行矩阵乘法。这并不简单，因为理论上两边都可以工作，但它们产生的结果完全不同。因此，今天我使用简单的 python 交互式 shell 一次性解决这个问题。
简单实验#
定义一个矩阵 m：
>>> m = np.array([[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]])
>>> m
array([[1, 2, 3],
[2, 3, 4],
[3, 4, 5]])
定义一个向量 v：
>>> v = np.array([1,2,3])
>>> v
array([1, 2, 3])
进行逐元素相乘：
>>> m * v
array([[ 1, 4, 9],
[ 2, 6, 12],
[ 3, 8, 15]])
这很直观：两个组件中所有最小的元素（一个三维数组）逐元素相乘。
直接进行矩阵乘法：
>>> m @ v
array([14, 20, 26])
>>> v @ m
array([14, 20, 26])
有趣的是，在两个方向上它们的结果是相同的。因为交换律不适用于矩阵乘法，不仅 m @ v 和 v @ m 不应该有相同的输出，而且至少一边不应该是有效操作。因此，结果表明 在 numpy 操作 @中发生了隐式转换。
这种隐式转换既聪明又愚蠢 —— 聪明在于它使解释器推断形状，以便 它们可以猜测你想写什么。但这也意味着如果你在代码中犯了逻辑错误，并恰好被正确推断，解释器将继续执行而不会抛出错误，即使你在进行错误的计算也不会给你适当的警告。这也是让我对底层发生的事情缺乏信心的罪魁祸首。
消除隐式转换#
因此，为了消除这种模糊性，我们手动将向量广播到相同的二维数组并查看会发生什么。正如预期的那样，这次我们可以看到它们是如何被不同对待的：
>>> v[None,:]
array([[1, 2, 3]])
# 左乘这个向量
>>> v[None,:] @ m
array([[14, 20, 26]])
# 右乘这个向量
>>> m @ v[None,:]
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 1 is different from 3)
另一边的操作也是一样：
>>> v[:,None]
array([[1],
[2],
[3]])
>>> m @ v[:,None]
array([[14],
[20],
[26]])
>>> v[:, None] @ m
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 3 is different from 1)
结论#
所以最后答案很明确，一个单一的向量在矩阵中本质上被视为行向量。无需担心，numpy 的世界现在在我脑海中是完美有序的；）。我希望这种隐式转换从一开始就没有实现，这样我可能会通过几个运行时错误更早地了解到这个事实。